「確率密度」「確率分布」「正規分布」とは何か？

結論

確率密度は、「確率の密度」としか言いようのないもの。確率分布は確率密度のグラフで、正規分布は現実世界でよくある確率分布のパターン。

はじめに

なお、以下の説明では、微分・積分についての基本的な知識があることを前提としています。

問題1

変数xは、-1から1の間の数値をランダムにとります。どのくらいの値が出やすいとか、そういったことは一切無いものとします。ここで、関数P(a) を以下のように定義します。

P(a) = 「x < a」となる確率（ただしaは実数）

では、P(a)のグラフを描いてみましょう。

問題1の答え

グラフが汚いのはお許しください。このグラフを見ると、aが-1以下のときはP(a) = 0で、aが1を超えるとP(a) = 1になるのが分かると思います。また、aが0のときはP(a)は「x < 0」になる確率なので、確率はちょうど0.5です。

問題2

今度は、P(a)を微分したP'(a)のグラフを描いてみましょう。

問題2の答え

シンプルなグラフができました。皆さんはできましたか？

鹿の言うとおり、これはxの確率密度のグラフ（つまり確率分布）です。-1 < a < 1の範囲ではP(a)は一定のペースで増加するため、その区間において確率密度P'(a)はずっと0.5になります。確率密度が「確率の密度」だということが少し分かってきたのではないでしょうか？

確率密度を積分してみよう

皆さんもちょっと手を動かして、計算してみてください。

P'(a)を-1 < a < 0の範囲で積分するわけですから、P(0) – P(-1)を計算すれば良いですね。分からなかった人は先に積分の復習をしてから再度挑戦してみましょう。

このような理由から、例えば確率分布の-1 < a < 0の部分の面積は、-1 < x < 0になる確率と一致します。これは非常に重要なことなので、必ず覚えていてください。

問題3. もう少し複雑な確率分布

皆さんは分かるでしょうか？たかしくんと一緒に考えてみましょう。

問題3の答え

不思議な形のグラフができました。なお、「0に近い値ほど出やすい」という曖昧な条件設定だったので、厳密な正解はありません。だいたいこういう感じの形になっていればOKです。

現実の世界において多いのは、問題2のようなシンプルな確率分布ではなく、問題3のようなやや複雑な確率分布になります。アンケートの回答やテストの得点など、たいていのものは真ん中に近い値ほど出やすいからです。

まとめ

確率密度は、「確率の密度」としか言いようのないもの。確率分布は確率密度のグラフで、正規分布は現実世界でよくある確率分布のパターン。